伯努利数 Bn 是一个数学分析中常见的有理数序列。前21个伯努利数的值列于右表。其中上标 ± 在本文中用来区别两种不同的伯努利数定义，这两种定义只对
n
=
1
{\displaystyle n=1}
有区别：
B
1
−
=
−
1
/
2
{\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}
，
B
1
+
=
+
1
/
2
{\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}
。
更多信息 n, B±n ...
n
B±n
0
1
1
±1/2
2
1/6
3
0
4
−1/30
5
0
6
1/42
7
0
8
−1/30
9
0
10
5/66
11
0
12
−691/2730
13
0
14
7/6
15
0
16
−3617/510
17
0
18
43867/798
19
0
20
−174611/330
关闭
Remove ads符号
B−n ，而B−1 = − 1/2，是美国国家标准技术研究所（NIST）和大多数现代教科书的符号约定。[1]
B+n，而B+1 = + 1/2，在较早的文献中被使用。[2]
由于对所有大于1的奇数 n，伯努利数 Bn = 0 ，且许多公式中仅使用偶数项的伯努利数，一些作者可能会用Bn来代表 B2n，不过本文不会如此简写。
历史
主条目：等幂求和
伯努利数来源于计算等幂求和。定义等幂和如下，其中m, n ≥ 0：
S
m
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
k
m
=
1
m
+
2
m
+
⋯
+
n
m
{\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +{n}^{m}}
这数列和的公式必定是变量为n，次数为m +1次的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有关系如下：
S
m
(
n
)
=
1
m
+
1
∑
k
=
0
m
(
m
+
1
k
)
B
k
+
n
m
+
1
−
k
,
{\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},}
其中(m + 1k) 为二项式系数。
例如，把m取为1，有
1
+
2
+
.
.
.
+
n
=
1
2
(
B
0
n
2
+
2
B
1
+
n
1
)
=
1
2
(
n
2
+
n
)
.
{\displaystyle 1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}
伯努利数最先由雅各布·伯努利研究，他给出了伯努利数的计算方法和所有幂和的统一公式。根据棣莫弗的提议，伯努利多项式中的系数被称为伯努利数。
在1842年的爱达·勒芙蕾丝的分析机笔记的笔记G，第一次记述了一个让电脑产生伯努利数的算法。
Remove ads定义
伯努利数可以由下列递归公式计算：
∑
k
=
0
m
(
m
+
1
k
)
B
k
−
=
δ
m
,
0
∑
k
=
0
m
(
m
+
1
k
)
B
k
+
=
m
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}
其中
m
=
0
,
1
,
2...
{\displaystyle m=0,1,2...}
，δ是克罗内克δ函数。
伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是x/（ex − 1），使得对所有绝对值小于2π的x（幂级数的收敛半径），有
x
e
x
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
x
n
n
!
{\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}
。
有时会写成小写bn，以便与贝尔数区分。
最初21项伯努利数记于OEIS中的数列A027641和A027642。
可以证明对所有不是1的奇数n有Bn = 0。
数列中乍看起来突兀的B12 = −691/2730，喻示伯努利数不能以初等方式描述；其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值，有深邃的数论性质联系，所以不能预期有简单的计算公式。
Remove ads伯努利数和黎曼ζ函数
欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为：
B
2
k
=
2
(
−
1
)
k
+
1
ζ
(
2
k
)
(
2
k
)
!
(
2
π
)
2
k
{\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}}
。
在[−1, 0]区间上的连续均匀概率分布的n阶累积量是Bn/n。
Remove ads伯努利数的算术性质
伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ（1 − n），也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔（Kummer）研究费马大定理时发现的。
伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理（Herbrand-Ribet）描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）给出。伯努利数还和代数K理论有关：若cn是Bn/2n的分子，那样
K
4
n
−
2
(
Z
)
{\displaystyle K_{4n-2}(\mathbb {Z} )}
的阶是−c2n若n为偶数；2c2n若n为奇数。
与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理（von Staudt-Clausen）。这定理是说，凡是适合p − 1整除n的素数p，把1/p加到Bn上，我们会得到一个整数。这个事实给出了非零伯努利数Bn的分母的特征：这些分母是适合p − 1整除n的所有素数p的乘积；故此它们都无平方因子，也都可以被6整除。
吾乡-朱加猜想猜测p是素数当且仅当pBp−1模p同余于−1。
Remove adsp进连续性
伯努利数的一个特别重要的同余性质，可以表述为p进连续性。若b，m和n是正整数，使得m和n不能被p − 1整除，及
m
≡
n
mod
p
b
−
1
(
p
−
1
)
{\displaystyle m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1)}
，那么
(
1
−
p
m
−
1
)
B
m
m
≡
(
1
−
p
n
−
1
)
B
n
n
mod
p
b
{\displaystyle (1-p^{m-1}){B_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}}
。
因为
B
n
=
−
n
ζ
(
1
−
n
)
{\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}
，这也可以写成
(
1
−
p
−
u
)
ζ
(
u
)
≡
(
1
−
p
−
v
)
ζ
(
v
)
mod
p
b
{\displaystyle (1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}\,}
，
其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同余于1。这告诉我们，黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中去掉
1
−
p
z
{\displaystyle 1-p^{z}}
后，对适合模p − 1同余于某个
a
≢
1
mod
p
−
1
{\displaystyle a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1}
的负奇数上的p进数连续，因此可以延伸到所有p进整数
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\,}
，得出p进ζ函数。
Remove ads伯努利数的应用
伯努利数出现在正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式、欧拉-麦克劳林公式，及黎曼ζ函数的一些值的表达式。
拓扑
在
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
时给出可平行流形边界的怪（4n−1）球，对于它们的微分同胚类的循环群的阶，有凯尔韦尔-米尔诺公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利数。若B是B4n/n的分子，那么这种怪球的数目是
2
2
n
−
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
{\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B}
。（拓扑学文章中的公式与这里不同，因为拓扑学家为伯努利数编号的习惯不同。本文跟随数论家的编号习惯。）
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